2013成人高考高起点数学(文)难点系统解析七
难点7 奇偶性与单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
难点磁场
(★★★★)设a>0,f(x)=
是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.
案例探究
［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(
)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(
),试证明：
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.
命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.
知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.
错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.
技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定
的范围是焦点.
证明：(1)由f(x)+f(y)=f(
),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(
)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f(
)
∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴
>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<
<1,由题意知f(
)<0，
即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(
)
的单调递减区间.
命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.
知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.
错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.
技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.
解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，
∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),
∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.
由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.
又a2－3a+1=(a－
)2－
.
∴函数y=(
)
的单调减区间是［
，+∞］
结合0<a<3,得函数y=(
)
的单调递减区间为［
，3).
锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.
复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.
(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.
歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )
A.f(x)=(x－1)
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
2.(★★★★★)函数f(x)=
的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称
二、填空题
3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.
4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在［x2,+∞
上单调递增，则b的取值范围是_________.
三、解答题
5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+
(a>1).
(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
6.(★★★★★)求证函数f(x)=
在区间(1，+∞)上是减函数.
7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=
；
(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：
(1)f(x)是奇函数.
(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.
8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且
f(－
)=0,当x>－
时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.
参考答案
难点磁场
(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即
+aex.整理，得(a－
)
(ex－
)=0.因此，有a－
=0,即a2=1,又a>0,∴a=1
(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=
由x1>0,x2>0,x2>x1,∴
>0,1－e
＜0,
∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数
证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x－1>0.
此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.
歼灭难点训练
一、1.解析：f(－x)=
=－f(x)，故f(x)为奇函数.
答案：C
2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.
答案：C
二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1
上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1
上递减.
答案：(－∞,－1
4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞
单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
答案：(－∞,0）
三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, 
>1且
>0,
∴
>0,又x1+1>0,x2+1>0
∴
>0,
于是f(x2)－f(x1)=
+
>0
∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.
(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则
且由0＜
＜1得0＜－
＜1,即
＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.
证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则
＜－2,
＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则
>0, 
>0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
6.证明：∵x≠0,∴f(x)=
,
设1＜x1＜x2＜+∞,则
.
∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）
7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)=
=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.
(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x－(－a)］=
.
∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=
=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.
8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－
>－
,由题意f(x2－x1－
)>0,
∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－
)－1=f［(x2－x1)－
］>0,
∴f(x)是单调递增函数.
(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.
