山西成考网高起点数学（文）复习资料下载---第四部分 概率与统计初步 2

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例9用 组成没有重复数字的自然数，
（1）六位数有多少？
（2）六位奇数有多少？
解：
（1）六位数的首位数字不允许为 ，在 中任选一个作为六位数的首位数字共有 种选法，当在 中选定一个作为六位数的首位数字之后，还剩下四个数，把 添加到这四个数中，将这五个数排到后五位上去，共有 种排法，根据计数的乘法原理，六位数共有 个
（2）六位奇数的首位数字与末位数字均不允许为 ，先排首位数字，其次排末位数字，最后再排中间四位数。类似于上面（1）的分析方法，首位数字共有 种排法，末位数字共有4种排法，中间四位数共有 种排法，根据计数的乘法原理，六位奇数共有
 个
例10求证：
证明：左边 ，右边 左边
说明：这是最常用的一个组合恒等式，当 时，可以使用这个组合恒等式来简化计算
例11-13为理工类考题，文史财经类考生不需要复习，在此不作讲解。
例14当 ， 除以 的余数是（）
（A）0
（B）0或1
（C）0或2
（D）2
解：选（C）
分析1：特例分析法，当 时， ， 除以 的余数是0
当 时， ，
 除以 的余数是2
分析2：一般分析法，
当 为正奇数时， 除以3的余数是0；
当 为正偶数时， 除以3的余数是2
（1）
 
 除以 的余数是0
 
 
 ，
 除以 的余数是0
设 ， ， ，
 ， ，当 时，
 均可被3整除，
而当 时，  不能被3整除，
也就是说，将 展开为多项式之后，除了最后一项不能被3整除之外，其余各项均能被3整除，且最后的余数为 ；
类似地， ，当 时，
 均可被3整除，
而当 时，  不能被3整除，
也就是说，将 展开为多项式之后，除了最后一项不能被3整除之外，其余各项均能被3整除，且最后的余数为 ；
综上所述，余数  余数 ，
故当 为正奇数时， 除以3的余数是0；
利用类似地分析方法，还可以证明：当 为正偶数时， 除以3的余数是2
......
例15　在一次读书活动中，一人要从5本不同的科技书、7本不同的文艺书中任意选取一本书，那么不同的选法有（　　）
A．5种　　
B．7种　　
C．12种　　
D．35种
答案：C．
分析：本题是一个与分类有关的问题，选一本书需要从科技书、文艺书两类中选，从任何一类书中选出一本就完成了选书这件事，因此，问题可以用分类计数原理来解。
读书活动中，任选一本书的方法分为两类：第一类是从5本科技书中任选一本，有5种方法；第二类是从文艺书中任选一本，有7种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法种数：
例16　加工一种零件分三道工序，做第一道工序的有3人，做第二工序的有4人，做第三道工序的有2人。每道工序各选出一人来完成零件加工任务，不同的选法有（　　）
A．9种　　
B．12种　　
C．6种　　
D．24种
答案：D．
分析：本题是一个与分步骤有关的问题，完成一件零件加工任务需要分别从第一道工序、第二道工序、第三道工序中各选一人，三道工序都完成才完成了零件加工任务，因此，问题可以用分步（骤）计数原理来解。
完成一件零件加工任务需要分为三个步骤：第一步从会做第一道工序的3人中选一人来做，有3种方法；第二步从会做第二道工序的4人中选一人来做，有4种方法；第三步从会做第三道工序的2人中选一人来做，有2种方法。根据分步计数原理，得到完成零件加工任务的方法种数：
注意：分类计数原理与分步计数原理的区别就在于是分类还是分步。如果与分类有关，就用分类计数原理；如果与分步有关，就用分步计数原理。
例17　把6本不同的书平均分给3个小孩，不同的分配方法有（　　）
A．15种　　
B．30种　　
C．60种　　
D．90种
答案：D．
分析：设有甲、乙、丙三个小孩。
从6本不同的书中给甲两本，有 种不同分配方法；给甲两本书之后，剩下的4本不同的书给乙两本，有 种不同的分配方法；给乙两本书之后，剩下的最后两本给丙，有 种不同的分配方法。
根据分步计数原理，符合题意的不同分配方法共有
 （种）。
例18　已知集合 有5个元素，它的所有非空子集的个数是（　　）
A．32　　
B．31　　
C．30　　
D．25
答案：B．
分析：含1个元素的子集个数是 ；含2个元素的子集个数是 ；......
含5个元素的子集个数是 ；于是，所有非空子集的个数是
 
 
注意：上式计算中利用了组合数的性质 组合数 中，当 时，通常不直接计算 ，而是利用上述性质改为计算 。
（如， ）
例19　从三个元素 中任取两个元素的所有排列是
答案：
分析：从三个元素中取两个元素的所有排列个数是
关键是要有步骤地把它们写出来，防止重复与遗漏。可以如下排出：
　　 　 ， 　 ， 　 
例20　7个人站成一排：
（1）其中某甲必须站在排头，有多少种站法？
（2）其中某甲不站在排头，有多少种站法？
解：（1）某甲必须站在排头，也就是某甲固定站在排头，而剩下6个人排在其余6个位置上的排法有 种，因此，某甲必须站在排头，这7个人的排法共有 （种）。
（2）7个人站成一排，共有 种站法，其中某甲必须站在排头有 种站法，那么，某甲不站在排头的站法共有　
 （种）。
或者：某甲不站在排头，那么某甲只允许站在除排头以外的6个位置中的一个上，共有 种，某甲站好之后，其余6个人分别在剩余6个位置上，共有 种站法。根据分步计数原理，某甲不站在排头，7个人的站法共有　 （种）。
例21　 展开式中的第 项是（　　）
A． 　
B． 　
C． 　
D．
答案：C．
分析：根据 展开式的通项公式，得
 
例22　为理工类考题，文史财经类考生不需要复习，在此不作讲解。
例23　 的展开式中的第4项是（　　）
A． 　　
B． 　　
C． 　　
D．
答案：A．
分析： 展开式的第 项是 
 
例24　 的展开式中 项的系数是（　　）
A．36　　
B．－36　　
C．84　　
D．－84
答案：D．
分析：可以运用展开式的通项公式，先求出第几项为 项，再求出该项的系数。
设所求的项是第 项，那么
根据题意，要求 的系数，得 ，
因此， 的系数是
例25　
答案：
分析：
例26　从四个元素 中每次取出两个元素的所有组合是
答案：
分析：从四个元素中每次取出两个元素的组合个数是　
要按照一定规律写出这些组合，要注意组合与元素的排列顺序没有关系，例如，组合
 与 是相同的组合。可以这样写出：
 ， ， 　故有，
例27求证：
证明：
 
例28　求证：
证明： ，
例29　求证：
证明：