山西成考网高起点数学（文）复习资料下载-第三章不等式与不等式组 1
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第三章不等式与不等式组
一、 不等式及其有关概念
1． 不等式的概念
表示两个量之间大小关系的式子叫做不等式。不等式通常是指用不等号把两个算式连结起来的式子。不等号包括以下几种形式：“＜”（读作小于）；“＞”（读作大于）；“ ”（读作小于或等于，即不大于）；“ ”（读作大于或等于，即不小于）。
不等式又分为条件不等式、绝对不等式和矛盾不等式三种。例如 是条件不等式，（因为此不等式只有当 时才成立）； 是绝对不等式（因为此不等式对任何实数 都成立）； 是矛盾不等式（因为此不等式对任何实数 都不能成立，事实上， ）。
2． 不等式的性质（ ）
（1） 如果 ，那么 ；如果 ，那么 （ ）
（2） 如果 且 ，那么 （ ）
（3） 如果 ，那么 （ ）
从这个性质可以知道，对于不等式中的任何一项，可以把它的符号变成相反的
符号后，从一边移到另一边。
（4） 如果 ， ，那么 ；如果 ， ，那么
以上四条性质是不等式的基本性质，由它们还可以推出不等式的以下性质：
（5） 如果 ， ，那么
（6） 如果 ，且 ，那么
（7） 如果 ，那么 （ ，且 ）
（8） 如果 ，那么 （ ，且 ）
不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
3．不等式的解集
一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的所有取值的集合，叫做不等式的解集。不等式的解集也可以用区间表示或用数轴表示。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
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4．同解不等式
如果两个不等式的解集相同，则把这两个不等式叫做同解不等式。使一个不等式变为另一个与它同解的不等式的过程叫做不等式的同解变形。
5．不等式的同解原理
（1）不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式为同解不等式。
（2）不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式为同解不等式。
（3）不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，当把不等号的方向改变后，所得的不等式与原不等式为同解不等式。
不等式的同解原理是解不等式的理论依据。
二、不等式的证明
不等式的证明同等式的证明类似，就是根据不等式的性质，证明所给不等式对于式中字母的所有允许值都能成立。证明不等式常常要用到下面几个重要不等式：
1．
2．如果 ，则 （当且仅当 时，有 ）
3．如果 ，则
不等式的证明方法有多种，本章将通过例题和习题介绍一些比较简单的不等式的证明。
三、一元一次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。解一元一次不等式，就是求这个不等式的解集的过程。它的一般步骤与解一元一次方程类似，但一定要注意，当不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
一元一次不等式解集情况可以归结为以下两种基本类型：
类型（设 ）
解集 数轴表示
类型（设 ）
解集 数轴表示
空集
四、一元一次不等式组
几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。所有这些一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况，可以归结为以上四种基本类型：
五、一元二次不等式
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式。
一元二次不等式可以归结为以下两种基本类型：
，
（首项系数为负数时，只要将不等式两边同乘－1，并把不等号改变方向，就可以化为以上类型。）
如果 容易分解因式，可以将 与二次函数
的有关性质求解，具体见下表：
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
或
不等于
的所有实数 全体实数
空集 空集
7-3
六、绝对值不等式
含有绝对值符号，并且绝对值符号内含有未知数的不等式，叫做绝对值不等式。
1． 绝对值不等式的性质
在实数集 中，
根据实数的绝对值的定义，
有： ， 在解决绝对值不等式的问题时，经常要用到以上的基本关系式。
2．绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解集情况可以归结为以下两种基本类型：
类型（设 ）
解集 数轴表示
或
注意：当 时， 无解， 的解集为全体实数。
典型例题
例1 如果 ，那么（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：选（B）
分析：
例2 如果 ， ，那么（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：选（C）
分析：根据“同号相等得正”，“异号相乘得负”，如果 ， ，那么
例3 已知 ，那么（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：选（D）
分析：采用特例计算法，设 ， ，显然满足， ， ， ，
，排除（A）； ，排除（B）； ，排除（C）；由于本门课程中的选择题都是单一选择题，故正确的答案应当选（D）即
注意：如果例3改为：已知 ，是否一定有 成立？
设 ， ，显然满足， ，但这仅仅是一个特殊例子而已，并不能由此而得出结论：一定有 成立。
下面给出严格的证明：
先证明如下预备性质：设 ，且 ，求证，
证明：
由 ，且 ， ，
设 ， ，
由 且 ， ， ，
由 ，且 ， ，
最后，已知 ，证明，一定有 成立。
证明：
已知 ， ， ， ，
