山西成考网高起点数学（文）复习资料下载---第三部分 平面解析几何 1

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第三部分　平面解析几何
平面向量
一、 向量的概念
1．有向线段
如图所示，规定了起点 和终点 ，并在终点处标上箭头的线段叫做有向线段，记作 。有向线段包含三个要素：起点、方向和长度。知道了有向线段的起点，它的终点就由它的方向和长度唯一确定。

2．向量
向量是具有大小和方向的量，向量可以用有向线段表示。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。用有向线段 表示向量，也就说向量 。另外还常用带箭头的小写字母表示向量，如向量 ， ， ， 等。印刷时常用黑体小写字母 等表示。
3．向量的长度
有向线段 表示向量 ， 的长度也叫做向量 的长度，记作 或
4．零向量和单位向量
长度为零的向量称为零向量。长度为1的向量称为单位向量。与向量 同方向的单位向量叫做 的单位向量。
5．相反向量
与 的大小相等方向相反的向量，称为 的相反向量，记作－ 。
6．平行（共线）向量
如果表示若干向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些向量平行或共线。

二、向量的加、减运算和数乘运算
1． 加法运算
（1）三角形法则
已知向量 作    则 
（2）平行四边形法则
已知向量 ，作    以 为邻边作平行四边形 ，则 
2．减法运算
如图所示，定义
  一个向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
一个向量（ ）等于它的终点（ ）的位置向量减去它的起点（ ）位置向量。
 数乘向量的运算
实数 与向量 的乘积是一个向量，记为 ，它的长度记为
 的方向，当 时， 与 同方向；
 　　　　　当 时， 与 反方向；
 　　      当 或 时，
                      

4．运算法则
（1） （加法交换律）；
（2） （加法结合律）；
（3） ， ；
（4） ， ；
（5） ；
（6）
（7） （数乘向量分配律）。

5．向量平行的条件
如果向量 ，那么 存在唯一实数 ，使
6．平面向量基本定理
如图所示，若 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量 ，存在唯一实数对 ，使　
 叫做向量 的线性组合。｛ ｝叫做平面向量的一个基底， 叫做基向量。
7．直线的向量参数方程
一条直线通过点 ，且平行于一个非零向量 ，则点 在这条直线上的充要条件是，存在唯一实数 ，使
 
设 为直线上任意两点，则点 在直线 上的充要条件是，存在实数 ，使满足
 
上式叫做直线向量参数方程，其中 叫做参数。当
 时，点 为线段 的中点 ，则
　　　　　

三、向量的数量积
1．轴与两向量夹角
规定了度量单位和方向的直线叫做轴。若 则 叫做向量 与 的夹角，记作 并规定
2．向量在轴上的投影
如图所示，规定向量 在轴 上的投影
 　其中 表示向量 与轴 的正方向的夹角。
   
3．向量的数量积
 　向量的数量积是一个实数。
4．向量数量积的性质
（1） ；
（2） （交换律）；
（3） ；
（4） （分配律）；
（5）

四、向量的直角坐标运算
1．向量的直角坐标
设 为直角坐标系 中分别与 轴、 轴同向的两个单位向量，如果向量 ，则 叫做向量 在直角坐标系 中的坐标，记作
2．向量的直角坐标运算
设 则
 
 
 
 
设 则
3．基本公式
（1）平移公式
如图所示，已知点 向量
 将点 按向量 平移到点
 则有 ，用坐标表示，就是
 ，即
（2）中点公式
设 线段 的中点为 ，则
（3）向量长度及两点间距离公式　
 　　设 则
 
（4）两个非零向量的夹角公式
设 则　
4．两向量平行和垂直的条件
设 则 

典型例题
例1 已知平行四边形 ， 则 （   ）
（A）    
（B）    
（C）   
（D）
解：选（B）
分析：因为  ，所以， ；
又因为 ，所以， ，故，
 
例2 已知 则（   ）
（A）  
（B）  
（C）  
（D）
解：选（A）
分析：解向量方程组 得 故