山西成考网高起点数学（文）复习资料下载---导　数 2

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2．基本导数公式
　　 ， （ 为有理数）， ，
 为无理数，且为常数， ，
　　 ，
注意： ， ， ， 。
思考： 对吗？ ，对不对？你们从中发现了什么？
3．两个函数的和、差、积、商的求导法则
（1） 和（或差）的导数
两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即　
 
（2）积的导数
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即
　　　
（3）商的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即
　　　
一、 函数的单调性与极值
1．函数的单调性
当函数 在某个区间内有导数时，如果 ，那么函数 在这个区间内是增函数；如果 ，那么函数 在这个区间内是减函数。
2．极值
设函数 在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的函数值都大，我们就说 是函数 的一个极大值；如果 的值比 附近所有各点的函数值都小，我们就说 是函数 的一个极小值。极小值与极大值统称极值。
如果 在某个区间有导数，就可以采用如下的方法求它的极值：
（1）求导数 ；
（2）求方程  的根；
（3）检查 在方程 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，
在根的右侧附近为正，那么函数 在这个根处取得极小值。
3．最大值与最小值
设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上的最大值与最小值，可以分为两步进行：
（1）求 在 内的极值（极大值或极小值）；
（2）将 的各极值与 ， 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
在日常生活，生产和科研中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题。

典型例题
例1 （）
（A） （B） （C） （D）
解：选（A）
分析：画出 的函数图像，观图可以得出结论。
例2 （）
（A） （B） （C） （D）
解：选（D）
分析：先画出 的图像，再画出 的图像，观图可以得出结论。
例3在点 处不连续的函数是（）
（A） （B） （C） （D）
解：选（D）
分析：分别画出四个函数的图像，观图可知应当，选（D）
例4函数 的导数是（）
（A） （B） （C） （D）
解：选（C）
分析：先把函数 展开为多项式，然后用“和、差、积求导数法则”分解计算，最后再代入“基本导数公式”求出结果。
 ，
 
例5 （）
（A） （B） （C） （D）
解：选（C）
分析：利用“乘积的求导数法则”，左导右不导加上右导左不导；或者，前导后不导加上后导前不导。
 
注意： 是以常数 为底数的指数函数，这个常数 ，它是一个无理数，也即无限不循环小数，  ，这个常数在高等数学中具有非常重要的作用，同学们将来在高等数学的学习中，将有机会更深入地了解这个常数的来龙去脉，及其应用。

例6与曲线 相切，且与直线 平行的直线有（）
（A） 条 （B） 条 （C） 条 （D） 条
解：选（B）
分析：曲线 上任意一点 的切线斜率为
  ，而直线 的斜率为 ，故根据已知条件，应当满足， ， ， ，  
也即，过曲线 ，上两点 ，与 可以作两条与该曲线相切，且与直线 平行的直线。
例7求
解：
例8曲线 在点 处的切线方程是
解： ， ，
曲线 在点 处的切线方程是
例9当 ，函数 是增函数
解： ，当 时， ，故当
 时，函数 是增函数
例10函数 在 上的最大值是
解： ， ，
设  ， ， ， ，
 ，最大值
 ，
 ，
函数 在 上的最大值是
例11把长 的铁丝围成矩形，矩形的长为 时，矩形的面积最大
解：设矩形的长为 ，则矩形的宽为 ，设矩形的面积为 ，则
 ， ， ，
设 ， ， ， ，当矩形的长为 时，矩形的面积最大。
例12　 （　　）。
A．0　　B． 　　C．1　　D．2
分析：当自变量 取正值且无限增大时，函数 的值无限趋近于0，所以
  　答案：A．
例13　在A．B．C．D．这四个图象所表示的函数中，在点 处有定义、有极限，但不连续的是（　　）。
 
A． B．
 
　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．
分析：图象A．表示的函数在点 处连续。图象B．表示的函数在点 处没有定义。图象D．表示的函数在点 处没有定义。　答案：C．
例14　
答案：
分析：
例15　
答案：
分析：
例16讨论函数 的单调性。
解：函数的定义域为 ，
 ，
注意：当 时， ，设 ，
即 ， （驻点）。
 　故，函数 在 上为单调减函数，
在 上为单调增函数。
例17讨论函数 的极值。
解法一：函数的定义域为 ，
 ，
设 ，即 ， （驻点）。
 ，当 ， 取得极小值，
例18过曲线 上一点 的切线方程是
答案： 。
分析： ， ，即过点 的切线斜率为12。
将点 与切线斜率代入点斜式直线方程： 。此方程即为切线方程。
注意：还可以把点斜式的切线方程转化为一般式的切线方程，
 ，
例19用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边向上翻转90 角。再焊接而成。问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大。最大容积是多少？
 
 解：设原正方形铁皮的边长为 ，截去的小正方形的边长为 ，则水箱的底边长为 ，水箱的高为 。
水箱容积（单位： ）　 ， ，由问题的实际情况来看，如果 过于接近于0，则水箱就象一个很浅的盘子，其容积肯定不大；而如果 过于接近于 ，则水箱就象一个做化学试验用的试管，其容积肯定也不大。由此可知，其中必有一个适当的 值，使得水箱的容积 取得最大值。
 
 
 
  ，
 舍去， ，（唯一驻点）。
显然，当截去的小正方形的边长为 时，可使水箱容积最大，
 
把 代入上式，得水箱最大容积为16000